Question

8．在△ABC中，∠B=∠C=30°，BC=6，則△ABC的內(nèi)切圓半徑與△ABC的外接圓的直徑的和為（　�。�

• A． 6-$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 6-3$\sqrt{3}$
• D． 6+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建兩個30°的直角三角形，根據(jù)垂徑定理可知：過圓心，且經(jīng)過弧的中點的直線垂直于弦，平分弦，又由三角形角平分線的交點是內(nèi)切圓圓心可知：AE是△ABC的高線，中線，所以也是頂角平分線，因此外接圓直徑也過內(nèi)切圓圓心O，分別設(shè)DE=x，AF=y，表示出內(nèi)切圓和外接圓半徑，利用勾股定理建立等量關(guān)系，求出x和y，最后計算出結(jié)論．

解答 解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的圓心為O，外接圓的圓心為D，做直徑AD，交BC于E，連接BD，過O做OF⊥AC，垂足為F，
∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，∠ADB=60°，
∴AD⊥BC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AD=BD，
∴△ABD是等邊三角形，
在Rt△BED中，∠DBE=90°-60°=30°，
設(shè)DE=x，則BD=2x，
由勾股定理得：（2x）²=3²+x²，
x=±$\sqrt{3}$，
∵x=-$\sqrt{3}$不符合題意，
∴BD=2x=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOF中，∠OAF=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠AOF=30°，
設(shè)AF=y，則AO=2y，OF=OE=$\sqrt{3}$y，
則2y+$\sqrt{3}$y=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，
y=2$\sqrt{3}$-3，
∴OF=$\sqrt{3}$（2$\sqrt{3}$-3）=6-3$\sqrt{3}$，
∴△ABC的內(nèi)切圓半徑與△ABC的外接圓的直徑的和=6-3$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=6+$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓的圓心與半徑的問題，解決此類問題的一般思路是：構(gòu)建直角三角形，設(shè)半徑為x，利用勾股定理列方程即可求解；同時還要熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)及直角三角形中30°角的性質(zhì)，它們在幾何證明中運用比較廣泛．