Question

如圖所示，已知AD，AE分別是△ABC和△ADC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．試求：
（1）AD的長；
（2）△ABE的面積；
（3）△ACE和△ABE的周長的差．

Answer 1

考點：三角形的角平分線、中線和高,三角形的面積

專題：

分析：（1）利用“面積法”來求線段AD的長度；
（2）△AEC與△ABE是等底同高的兩個三角形，它們的面積相等；
（3）由于AE是中線，那么BE=CE，于是△ACE的周長-△ABE的周長=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化簡可得△ACE的周長-△ABE的周長=AC-AB，易求其值．

解答：解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，
∴

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AD，
∴AD=

AB•AC

BC

=

6×8

10

=4.8（cm），即AD的長度為4.8cm；

（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×6×8=24（cm²）．
又∵AE是邊BC的中線，
∴BE=EC，
∴

1

2

BE•AD=

1

2

EC•AD，即S_△ABE=S_△AEC，
∴S_△ABE=

1

2

S_△ABC=12（cm²）．
∴△ABE的面積是12cm²．

（3）∵AE為BC邊上的中線，
∴BE=CE，
∴△ACE的周長-△ABE的周長=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是2cm．

點評：本題考查了中線的定義、三角形周長的計算．解題的關(guān)鍵是利用三角形面積的兩個表達式相等，求出AD．