Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合，點G為對角線交點，頂點A在x軸上，頂點C的坐標(biāo)為（0，6），∠COB=30°，以O(shè)C上一點P為圓心，以

3

2

為半徑的圓合與OB相切于點D．
（1）求點P的坐標(biāo)；
（2）判斷AC和⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）已知點E為⊙P與PC的交點，求DE的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題,含30度角的直角三角形,勾股定理,矩形的性質(zhì),切線的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）連接PD，在Rt△PDO中，知道一邊、一銳角可以求出OP長，從而求出點P的坐標(biāo)．
（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，只需求出PH長，然后比較PH與半徑PD大小關(guān)系，就可得到AC和⊙P的位置關(guān)系．
（3）過點D作DF⊥OC，垂足為F，只需求出DF、EF的長，就可以求出DE的長．

解答：解：（1）連接PD，如圖1所示．
∵⊙P與與OB相切于點D，
∴PD⊥OB，即∠ODP=90°．
∵∠COB=30°，PD=

3

2

，
∴OP=2PD=3．
∴點P的坐標(biāo)為（0，3）．
（2）AC和⊙P相切．
理由如下：
過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．
∵點C的坐標(biāo)為（0，6），
∴OC=6．
∴PC=OC-OP=3．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴GC=GO．
∴∠GCO=∠GOC=30°．
∴PH=

1

2

PC=

3

2

，
∴PH=PD．
∴⊙P與AC相切．
（3）過點D作DF⊥OC，垂足為F，如圖3所示．
在Rt△PFD中，
∵PD=

3

2

，∠FPD=90°-30°=60°，
∴sin∠FPD=

DF

DP

=

DF

3 2

=

3

2

．
∴DF=

3 3

4

．
同理：PF=

3

4

．
在Rt△DFE中，
DF=

3 3

4

，EF=PE+PF=

3

2

+

3

4

=

9

4

，
∴DE=

DF2+EF2

=

( 3 3 4 )2+( 9 4 )2

=

3 3

2

．
∴DE的長為

3 3

2

．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30°所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，具有一定的綜合性．