Question

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：首先連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF．證明只有點F運動到點M時，EF+BF取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值．

解答：解：連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF，延長BA，DH⊥BA于H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴點B關(guān)于AC的對稱點為D，
∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有當(dāng)點F運動到點M時，取等號（兩點之間線段最短），
△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，
∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，
∴AH=

1

2

AD，DH=

3

2

AD，
∵菱形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，
∴AE=2，AH=2，
∴EH=4，DH=2

3

，
在Rt△EHD中，DE=

EH2+DH2

=

42+(2 3 )2

=2

7

，
∴EF+BF的最小值為2

7

．
故答案為：2

7

．

點評：此題主要考查菱形是軸對稱圖形的性質(zhì)，知道什么時候會使EF+BF成為最小值是解本題的關(guān)鍵．