【題目】如圖,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn),將△BCD沿直線(xiàn)CD折疊,使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線(xiàn)為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求OE的長(zhǎng)及經(jīng)過(guò)O,D,C三點(diǎn)拋物線(xiàn)的解析式;
(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā),沿EC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),DP=DQ;
(3)若點(diǎn)N在(1)中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)在Rt△COE中,OE===3,拋物線(xiàn)解析式為y=x(x+4)=x2+x;
(2)t=;
(3)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(2,16)或(﹣6,16)或(﹣2,﹣).
【解析】
試題分析:(1)由折疊的性質(zhì)可求得CE、CO,在Rt△COE中,由勾股定理可求得OE,設(shè)AD=m,在Rt△ADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合C、O兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式;
(2)用t表示出CP、BP的長(zhǎng),可證明△DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;
(3)可設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo),分三種情況①EN為對(duì)角線(xiàn),②EM為對(duì)角線(xiàn),③EC為對(duì)角線(xiàn),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo),再代入拋物線(xiàn)解析式可求得M點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵CE=CB=5,CO=AB=4,
∴在Rt△COE中,OE===3,
設(shè)AD=m,則DE=BD=4﹣m,
∵OE=3,
∴AE=5﹣3=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4﹣m)2,解得m=,
∴D(﹣,﹣5),
∵C(﹣4,0),O(0,0),
∴設(shè)過(guò)O、D、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)為y=ax(x+4),
∴﹣5=﹣a(﹣+4),解得a=,
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x(x+4)=x2+x;
(2)∵CP=2t,∴BP=5﹣2t,∵BD=,DE==,∴BD=DE,
在Rt△DBP和Rt△DEQ中,,
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL),
∴BP=EQ,
∴5﹣2t=t,
∴t=;
(3)∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣2,
∴設(shè)N(﹣2,n),
又由題意可知C(﹣4,0),E(0,﹣3),
設(shè)M(m,y),
①當(dāng)EN為對(duì)角線(xiàn),即四邊形ECNM是平行四邊形時(shí),
則線(xiàn)段EN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=﹣1,線(xiàn)段CM中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,
∵EN,CM互相平分,
∴=﹣1,解得m=2,
又M點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,
∴y=×22+×2=16,
∴M(2,16);
②當(dāng)EM為對(duì)角線(xiàn),即四邊形ECMN是平行四邊形時(shí),
則線(xiàn)段EM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,線(xiàn)段CN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=﹣3,
∵EM,CN互相平分,
∴=﹣3,解得m=﹣6,
又∵M點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,
∴y=×(﹣6)2+×(﹣6)=16,
∴M(﹣6,16);
③當(dāng)CE為對(duì)角線(xiàn),即四邊形EMCN是平行四邊形時(shí),
則M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),即M(﹣2,﹣).
綜上可知,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(2,16)或(﹣6,16)或(﹣2,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),動(dòng)點(diǎn)M,N分別從O,B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中,點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA,交AC于P,連接NP,已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.
(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少(用含x的代數(shù)式表示);
(2)試求△NPC面積S的表達(dá)式,并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),△NPC是一個(gè)等腰三角形?簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一食堂需要購(gòu)買(mǎi)盒子存放食物,盒子有A,B兩種型號(hào),單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如表.現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個(gè)盒子要裝滿(mǎn),由于A型號(hào)盒子正做促銷(xiāo)活動(dòng):購(gòu)買(mǎi)三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返還現(xiàn)金4元,則一次性購(gòu)買(mǎi)盒子所需要最少費(fèi)用為 元.
型號(hào) | A | B |
單個(gè)盒子容量(升) | 2 | 3 |
單價(jià)(元) | 5 | 6 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)題意結(jié)合圖形填空:已知:如圖,AD⊥BC于D,EG⊥BC與G,∠E=∠3,試問(wèn):AD是∠BAC的平分線(xiàn)嗎?若是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
答:是,理由如下:
∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知)
∴∠4=∠5=90°( )
∴AD∥EG( )
∴∠1=∠E( )
∠2=∠3( )
∵∠E=∠3(已知)
∴(∠1)=(∠2)(等量代換)
∴AD是∠BAC的平分線(xiàn)( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若x1,x2是一元二次方程x2+2x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x12+3x1+x2+x1x2=__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:△ABC≌△DEF,AB=DE,∠A=70°,∠E=30°,則∠F的度數(shù)為 ( )
A、 80° B、 70° C、 30 ° D、 100°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四個(gè)命題: ①若一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身,則這個(gè)數(shù)是0;
②若一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于它本身,則這個(gè)數(shù)是1;
③若a=b,則a2=b2;
④若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就等于它本身,則這個(gè)數(shù)是正數(shù).
其中真命題有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中.
(1)把△ABC平移至A′的位置,使點(diǎn)A與A′對(duì)應(yīng),得到△A′B′C′;
(2)圖中可用字母表示,與線(xiàn)段AA′平行且相等的線(xiàn)段有哪些?
(3)求四邊形ACC′A′的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】寧波奧林匹克體育中心坐落于江北區(qū),一期“三館一圓”總投資35億元,其中35億元用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.35×1010元
B.3.5×108元
C.3.5×109元
D.35×108元
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