Question

（2012•縉云縣模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

x+6

3

與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，直線y=

3

x與AB相交于C點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動到點(diǎn)A，過點(diǎn)D作x軸的垂線，分別交直線y=

3

x和直線y=-

3

x+6

3

于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合），以PQ為邊向左作正△PQR，設(shè)正△PQR與△OBC重疊部分的面積為S（平方單位），點(diǎn)D的運(yùn)動時(shí)間為t（秒）
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)； 
（2）若點(diǎn)M（2，3

3

）正好在△PQR的某邊上，求t的值；
（3）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍，求出D在整個(gè)運(yùn)動過程中s的最大值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，可求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)；令x=0，可求B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；直線y=-

3

x+6

3

與直線y=

3

x聯(lián)立可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本題只需考慮點(diǎn)M（2，3

3

）正好在△PQR的某邊上，求出t的取值即可．
（3）本題要分5種情況進(jìn)行討論．當(dāng)0≤t≤

9

4

時(shí)；當(dāng)

9

4

＜t＜3時(shí)；當(dāng)t=3時(shí)；當(dāng)3＜t≤

9

2

時(shí)；當(dāng)

9

2

≤t≤6時(shí)．討論求出S的最大取值．

解答：解：（1）令y=0，可求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：6；
故A點(diǎn)坐標(biāo)為；（6，0），
令x=0，可求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：（0，6

3

）；
直線y=-

3

x+6

3

與直線y=

3

x聯(lián)立可求C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，3

3

）；

（2）當(dāng)M在QP上或在RQ上以及RP上時(shí)，
分別求出：t1=

7

2

，t2=

11

4

，t₃=2；

（3）

s=- 7 3 3 t2+6 3 t(0≤t≤ 9 4 ) s=3 3 t2-18 3 t+27 3 ( 9 4 ＜t＜3) s=0(t=3) s= 3 t2-6 3 t+9 3 (3＜t≤ 9 2 ) s=- 3 3 t2+6 3 t-18 3 ( 9 2 ＜t≤6)

，
因?yàn)镾的最大值在

9

2

＜t≤6范圍內(nèi)取到，a=-

3

3

＜0，開口向下，對稱軸直線x=9，函數(shù)的自變量

9

2

＜t≤6部分圖象在對稱軸的左側(cè)，S隨t的增大而增大
故當(dāng)t=6時(shí)，s最大=6

3

．

點(diǎn)評：考查了一次函數(shù)綜合題．本題中對于點(diǎn)的運(yùn)動要分類進(jìn)行討論．分類討論是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法，難點(diǎn)是一要想到用討論的方法進(jìn)行求解．而是討論界限要確定不要漏解和重復(fù)．