Question

如圖12-1和12-2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．過點A作AF⊥AE，過點C作CF∥AD，兩直線交于點F．

（1）在圖12-1中，證明：△ACF≌△ABE；

 

（2）在圖12-2中，∠ACB的平分線交AB于點M，交AD于點N．

① 求證：四邊形ANCF是平行四邊形；

② 求證：ME=MA；

③ 四邊形ANCF是不是菱形？若是，請證明；若不是，請簡要說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AD⊥BC

∴∠DAC=∠CAB=45°

∵CF∥AD

∴∠DAC=∠ACF=45°，

∴∠B=∠ACF=45°

∵AF⊥AE∴∠EAF=90°

∵∠EAF=∠EAC+∠CAF=90°

∠BAC=∠EAC+∠BAE=90°

∴∠CAF=∠BAE

∵AB=AC，

∴△ACF≌△ABE；   

（2）①證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=45°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAB=22.5°，

∵△ACF≌△ABE；

∴∠BAE=∠CAF=22.5°，

∵∠ACB的平分線交AB于點M

∴∠ACM=∠ACB=22.5°，

∵∠ ACM =∠CAF=22.5°

∴AF∥CN

∵AD∥FC

∴四邊形ANCF是平行四邊形；

②證明：∵∠BAC=90°，∠BAE=22.5°，

∴∠EAC=67.5°，

∵∠BCA=45°，

∴∠AEC=67.5°，

∵∠EAC=∠AEC=67.5°，

∴CA=CE

∵∠ACB的平分線交AB于點M

∴∠ACM=∠ECM

∵MC=MC

∴ △ACM≌△ECM

∴AM=EM        

③答：不是.

理由：∵∠CAF=22.5°，∠ACF=45°

∴FA≠FC

∴四邊形ANCF不是菱形