Question

如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點P為AB上一動點，連接DB、DP，AE⊥DP于E．
（1）如圖①，若P為AB的中點，則

BF

DF

=

 

；

BF

AC

=

 

；
（2）如圖②，若

AP

BP

=

1

2

時，證明AC=4BF；
（3）如圖③，若P在BA的延長線上，當

BF

AC

=

 

時，

AP

AB

=

1

3

．

Answer 1

分析：（1）延長AF交BC于M，證△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根據(jù)△MBF∽△ADF對應(yīng)邊成比例列出比例式

BF

DF

=

BM

AD

=

BF

FD

，然后再根據(jù)正方形的邊長相等，對角線相等進行轉(zhuǎn)化即可求解；
（2）先根據(jù)已知條件求出

AP

AB

=

1

3

，然后同（1）的方法作出輔助線即可進行證明；
（3）同前兩小題的思路，延長CB交AF于點M，然后同（1）的求解思路進行求解計算．

解答：解：（1）延長AF交BC于M，
∴∠BAM+∠AMB=90°
∵AE⊥DP，
∴∠BAM+∠DPA=90°，
∴∠AMB=∠DPA，
在△ABM≌△DAP中，

∠AMB=∠DPA ∠ABC=∠DAP AB=AD

，
∴△ABM≌△DAP（AAS），
∴AP=BM（全等三角形對應(yīng)邊相等），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴△MBF∽△ADF，
∴

BF

DF

=

BM

AD

，
∵點P是AB的中點，
∴AP=BM=

1

2

AB=

1

2

AD，
∴

BF

DF

=

BM

AD

=

BF

FD

=

1

2

，
∴

BF

FD+BF

=

1

1+2

=

1

3

，
即

BF

FD

=

1

3

，
又∵AC=BD，
∴

BF

AC

=

1

3

；
故答案為：

1

2

，

1

3

；

（2）∵

AP

BP

=

1

2

，
∴

AP

AP+BP

=

1

1+2

=

1

3

，
即

AP

AB

=

1

3

，
方法同（1），延長AF交BC于M，
則

BM

AD

=

AP

AB

=

BF

FD

=

1

3

，
∴

BF

BF+FD

=

1

1+3

=

1

4

，
即

BF

BD

=

1

4

，
∵正方形的對角線AC=BD，
∴

BF

AC

=

1

4

，
∴AC=4BF；

（3）延長CB交AF于點M，方法同（1）可得

BM

AD

=

AP

AB

=

1

3

，
∴

BF

FD

=

1

3

，
∴

BF

FD-BF

=

1

3-1

，
即

BF

BD

=

1

2

，
∵正方形的對角線AC=BD，
∴

BF

AC

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，此類題目往往是后面的小題的解題思路繼續(xù)沿用第（1）小題的思路，所以找準第（1）小題的求解思路很重要．