Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且滿足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，線段AB交y軸于F點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn)，若ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，如圖2，求∠AMD的度數(shù)．

（3）如圖3，

①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②點(diǎn)P為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，若△ABP的三角形和△ABC的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B（3，3）；（2）∠AMD=45°；（3）①F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；②滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；（0，-2）；（-10，0），（4，0）．

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+b=0，a-b+6=0，然后解方程組求出a和b即可得到點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB=180°，而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，所以∠ODE+90°-∠FAO=180°，再根據(jù)角平分線定義得∠OAN=∠FAO，∠NDM=∠ODE，則∠NDM-∠OAN=45°，得∠NDM+∠DNM=135°，即可求出∠NMD=45°；
（3）①連結(jié)OB，如圖3，設(shè)F（0，t），根據(jù)△AOF的面積+△BOF的面積=△AOB的面積，則可得到F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
②先計(jì)算△ABC的面積=，分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)P（0，y），利用△ABP的三角形=△APF的面積+△BPF的面積，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或（0，-2）；當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)P（x，0），求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵（a+b）2+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；

（2）如圖2，

∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=∠FAO，∠NDM=∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①連結(jié)OB，如圖3，

設(shè)F（0，t），
∵△AOF的面積+△BOF的面積=△AOB的面積，
∴

解得：t=，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
②存在．
△ABC的面積=，
當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)P（0，y），
∵△ABP的三角形=△APF的面積+△BPF的面積，
∴，

解得y=5或y=-2，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或（0，-2）；
當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)P（x，0），
則，

解得：x=-10或x=4，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，0），（4，0）
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；（0，-2）；（-10，0），（4，0）．