Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；
（2）求△AOB的面積；
（3）Q是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請(qǐng)以Q為圓心，QO半徑畫圓與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)P在線段AB上，由O在⊙P上，且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直徑，由此即可證明點(diǎn)P在線段AB上；
（2）如圖，過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，由題意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位線，故S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×PP₂
而P是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，由此即可求出PP₁×PP₂=6，代入前面的等式即可求出S_△AOB；
（3）如圖，連接MN，根據(jù)（1）（2）則得到MN過點(diǎn)Q，且S_△MON=S_△AOB=12，然后利用三角形的面積公式得到OA•OB=OM•ON，然后證明△AON∽△MOB，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
解答：（1）解：點(diǎn)P在線段AB上，理由如下：
∵點(diǎn)O在⊙P上，且∠AOB=90°
∴AB是⊙P的直徑
∴點(diǎn)P在線段AB上．

（2）解：過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，
由題意可知PP₁、PP₂，是△AOB的中位線，
故S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×2PP₂
∵P是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)
∴S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×2PP₂=2PP₁×PP₂=12．

（3）證明：如圖，連接MN，則MN過點(diǎn)Q，且S_△MON=S_△AOB=12．
∴OA•OB=OM•ON
∴
∵∠AON=∠MOB
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB．
點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形的中位線定理及圓周角定理，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)才能很好解決這類綜合性的問題．