Question

11．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖（1），線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫(xiě)出你猜想的結(jié)論；
②將圖（1）中的△ADE的位置改變一下，如圖（2），使∠BAD=∠CAE，其他條件不變，則線段BD，CE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）BD=CE，BD⊥CE，延長(zhǎng)BD與EC交于點(diǎn)F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解答；
（2）BD=CE，BD⊥CE，延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，利用三角形的內(nèi)角和為180°，即可得到BD⊥CE．

解答 解：（1）BD=CE，BD⊥CE；
如圖（1），延長(zhǎng)BD與EC交于點(diǎn)F，

在△ACE和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠ADB+∠ABD=90°
∴∠ABD+∠AEC=90°
∴∠BFE=90°，
∴BD⊥CE．
（2）結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，
如圖（2），延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△ADB是解題的關(guān)鍵．