Question

如圖，直線l₁：y=x+4交x軸于A，直線l₂：y=-x+2與y軸交于B，直線y=-

1

2

x+b與l₁交于M，與l₂交于N（N與B不重合）相交于N，△OBN，△OAM的面積分別為S₁，S₂．
（1）若0≤b≤1，求s₁關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式與最大值；
（2）若M的縱坐標(biāo)＞

4

3

，且S₁＜S₂，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)兩直線相交的問題組成方程組

y=-x+2 y=- 1 2 x+b

，消去y得-x+2=-

1

2

x+b，解得x=4-2b，則N點的橫坐標(biāo)為4-2b，再得到點B的坐標(biāo)為（0，2），則根據(jù)三角形面積公式得S₁=|4-2b|，由于0≤b≤1，則去絕對值得S₁=4-2b，然后根據(jù)已次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值；
（2）與（1）一樣可得到M的縱坐標(biāo)為

2b+4

3

，而點M的縱坐標(biāo)大于

4

3

，則b＞0，再確定點A的坐標(biāo)為（-4，0），根據(jù)三角形面積公式得到S₂=

4b+8

3

，而b≠2，S₁＜S₂，分類討論：當(dāng)0＜b＜2時，4-2b＜

4b+8

3

，解得b＞

2

5

，即

2

5

＜b＜2；當(dāng)b＞2時，2b-4＜

4b+8

3

，解得b＜10，即2＜b＜10．

解答：解：（1）由

y=-x+2 y=- 1 2 x+b

得-x+2=-

1

2

x+b，解得x=4-2b，即N點的橫坐標(biāo)為4-2b，
把x=0代入y=-x+2得y=2，則點B的坐標(biāo)為（0，2），
S₁=

1

2

×2×|4-2b|=|4-2b|，
∵0≤b≤1，
∴S₁關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式為S₁=4-2b，
∵-2＜0，
∴S₁隨著b的增大而減小，
∴當(dāng)b=0時，S₁取最大值4；
（2）由

y=x+4 y=- 1 2 x+b

得y=

2b+4

3

，即M的縱坐標(biāo)為

2b+4

3

，
∵點M的縱坐標(biāo)大于

4

3

，
∴2b+4＞4，
∴b＞0，
把y=0代入y=x+4得x+4=0，解得x=-4，則點A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴S₂=

1

2

×4×

2b+4

3

=

4b+8

3

，
∵點N不與B重合，
∴b≠2，
∵S₁＜S₂，
∴當(dāng)0＜b＜2時，4-2b＜

4b+8

3

，解得b＞

2

5

，
∴

2

5

＜b＜2；
當(dāng)b＞2時，2b-4＜

4b+8

3

，解得b＜10．
∴2＜b＜10．
∴b的取值范圍為

2

5

＜b＜2或2＜b＜10．

點評：本題考查了兩直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．