【題目】如圖,直線ABx軸,y軸分別交于點A2,0),點B02),動點D1個單位長度/秒的速度從點A出發(fā)向x軸負半軸運動,同時動點E個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)向y軸負半軸運動,設運動時間為t秒,以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E,過點Ex軸的平行線,與拋物線的另一個交點為點G,與AB相交于點F

1)求∠OAB度數(shù);

2)當t為何值時,四邊形ADEF為菱形,請求出此時二次函數(shù)解析式;

3)是否存在實數(shù)t,使△AGF為直角三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1)∠OAB60°;(2tt4,四邊形ADEF為菱形,;(3)存在,t,使△AGF為直角三角形,見解析.

【解析】

1)在RtBOA中,OA2OB2,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出tanOAB的值,進而得出∠OAB的度數(shù);

2)證明DEAB,可得四邊形ADEF為平行四邊形,當ADDE時,四邊形ADEF為菱形,用t表示出AD,DE的長,解方程即可得出t的值,再設頂點式可求得此時二次函數(shù)的解析式;

3)由題意可得∠GFA=∠BAO60°,∠FGA90°,所以使△AGF為直角三角形,只能是∠FAG90°,用t分別表示出AFFG的長,根據(jù)FG2AF,即可得出t的值.

解:(1)∵直線ABx軸,y軸分別交于點A20),點B0,2),∠BOA90°,

OA2OB2,

tanOAB,

∴∠OAB60°;

2)∵ADt,BEtm

,

DEAB

∴∠EDO=∠BAO60°,

∵過點Ex軸的平行線,與拋物線的另一個交點為點G,與AB相交于點F,

∴四邊形ADEF為平行四邊形,

ADDE時,四邊形ADEF為菱形,

OD2tODt2,DE2OD

DE42tDE2t4,

t42tt2t4

解得:tt4,

t時,點E坐標為(0,),

設二次函數(shù)解析式為yax22,

將點E坐標代入,可得a,

∴二次函數(shù)解析式為yx22;

t4時,點E坐標為(0,),

設二次函數(shù)解析式為yax22,

將點E坐標代入,可得a

∴二次函數(shù)解析式為yx22;

3)∵EGOA,

∴∠GFA=∠BAO60°,

G在二次函數(shù)圖象上,

∴∠FGA90°,

∴使△AGF為直角三角形,只能是∠FAG90°,

由對稱性可得,EG4,

∵四邊形ADEF為平行四邊形,

EFADt,AFDE22t),

FG2AF

4t42t),

解得:t

∴存在實數(shù)t,使△AGF為直角三角形.

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A.

B.

C.

D.

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1)求Pt的函數(shù)關系式(6≤t≤24).

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