Question

已知：△ABC的高AD所在直線(xiàn)與高BE所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)G，求證：FG+DC=AD；
（2）如圖2，若∠ABC=135°，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)G，則FG、DC、AD之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（3）在（2）的條件下，若AG=5

2

，DC=3，將一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，這個(gè)角的兩邊分別交線(xiàn)段FG于M、N兩點(diǎn)（如圖3），連接CF，線(xiàn)段CF分別與線(xiàn)段BM、線(xiàn)段BN相交于P、Q兩點(diǎn)，若NG=

3

2

，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠CBE=∠DAC，∠AGF=∠BAD可推出FA=FG；
（2）與（1）證明方法同理；
（3）首先證明△FDC為等腰直角三角形，然后證明四邊形DFHB為矩形．根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算得出．

解答：證明：
（1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；

解：（2）FG-DC=AD；

（3）如圖，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5

2

，F(xiàn)G²+AF²=AG²，
∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC為等腰直角三角形
∴FC=

DF2+DC2

=3

2

，
分別過(guò)B，N作BH⊥FG于點(diǎn)H，NK⊥BG于點(diǎn)K，
∴四邊形DFHB為矩形，
∴HF=BD=2  BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=

BH2+HG2

=3

2

∵sin∠G=

NK

NG

，
∴NK=

3

2

×

2

2

=

3 2

4

，
∴BK=

9 2

4

∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴

MH

NK

=

BH

BK

，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF=

1

2

FC=

3 2

2

，
∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴

BC

NF

=

CQ

FQ

，
∴

CQ

FQ

=

1

5- 3 2

=

2

7

，
∴CQ=

2

9

FC=

2

9

×3

2

=

2 2

3

，
∴PQ=CP-CQ=

3 2

2

-

2 2

3

=

5 2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及綜合分析、解答問(wèn)題的能力，涉及到三角函數(shù)的計(jì)算，難度偏難．