Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點（A、B分別在原點的左右兩側），與y軸正半軸相交于C點，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面積為6，（如圖1）
（1）求A、B、C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如圖2，在直線BC上方的拋物線上是否存在一動點P，使△BCP面積最大？如果存在，求出最大面積，并指出此時P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA：OB：OC=1：3：3，
∴設OA=k，OB=3k，OC=3k，
則AB=OA+OB=k+3k=4k，
S_△ABC=×4k•3k=6，
解得k=1，
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）把點A、B、C的坐標代入拋物線y=ax²+bx+c得，
，
解得，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（3）根三角形的面積，當平行于BC的直線與拋物線只有一個交點時△BCP面積最大，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
設與直線BC平行的直線為y=-x+b，
聯(lián)立，
消掉y得，x²-3x+b-3=0，
△=（-3）²-4×1×（b-3）=0，
即b=時，直線與拋物線只有一個交點，△BCP面積最大，
此時，x=-=，
y=-+=，
所以，點P的坐標為（，），
過點P作PD⊥x軸于D，
則S_△BCP=S_梯形ODPC+S_△PBD-S_△OBC
=×（3+）×+×（3-）×-×3×3
=+-
=．
分析：（1）根據比例設OA=k，OB=3k，OC=3k，然后表示出AB=4k，再利用△ABC的面積列式求出k，即可得到點A、B、C的坐標；
（2）利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（3）根據平行于BC的直線與拋物線只有一個交點時△BCP面積最大，先求出直線BC的解析式為y=-x+3，再設出平行于直線BC的直線的解析式y(tǒng)=-x+b，然后與拋物線聯(lián)立，消掉未知數y，得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出b值，再求出點P的坐標，過點P作PD⊥x軸于D，根據S_△BCP=S_梯形ODPC+S_△PBD-S_△OBC列式計算即可得解．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了三角形的面積，待定系數法求二次函數解析式，（1）利用“設k法”求解更加簡便，（3）先判斷出過平行于BC的直線與拋物線只有一個交點時△BCP的面積最大是解題的關鍵．