Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）設(shè)OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、線段CE和BE所圍成的圖形面積S．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，

∵CE是⊙O的切線，OB=OC，OD⊥BC，∴∠EOC=∠EOB。

∵在△EOC和△EOB中，OB=OC，∠EOC=∠EOB，OE=OE，

∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠OCE=∠OBE=90°。

∴OB⊥BE�！郆E與⊙O相切。

（2）∵OD⊥BC，∴CD=BC=×2=。

設(shè)OC=x，則OD=OF﹣DF=x﹣1，

在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，

∴x²=（x﹣1）²+（）²，解得：x=2。

∴OC=2，∠COD=60°，∴∠BOC=120°。

∴CE=OC•tan60°=2。

∴S=S_{四邊形OBFC}﹣S_扇形OBC=2S_△OCE﹣S_扇形OBC=。