Question

（2012•江西模擬）如圖，等腰直角△DFE的直角邊DF在等腰直角△ABC的斜邊AC上．AB=6cm．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D兩點(diǎn)重合時(shí)，讓△DEF沿△ABC的斜邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C平移，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)在平移過(guò)程中AD=xcm，點(diǎn)E到直線BC的距離EH為ycm．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)△DEF沿AC平移到使FC=

2

cm時(shí)，點(diǎn)E到直線BC的距離為3cm，求△DEF的直角邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）分①點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形ABHE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EH=AB，②點(diǎn)A、D不重合時(shí)，延長(zhǎng)ED交AB于M，利用∠A的余弦值表示出AM，再用AB-AM即可得解；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論根據(jù)EH的長(zhǎng)度求出x，再根據(jù)DF=AC-AD-FC，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，
∵∠EDF=∠ACB=45°，
∴DE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE=90°，
此時(shí)四邊形ABHE是矩形，
即x=0時(shí)，y=EH=AB=6cm，
當(dāng)△DEF沿AC平移時(shí)，
如圖1，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)M，則有EM⊥AB，
∵∠A=45°，AD=x，
∴E點(diǎn)下降的距離AM=cos45°•x=

2

2

x，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=6-

2

2

x；

（2）如圖2，當(dāng)△DEF沿AC平移到使FC=

2

cm時(shí)，
由EH=3cm，得y=6-

2

2

x，
解得AD=x=3

2

cm，
在Rt△ABC中，∠A=45°，AB=6cm，
∴AC=6÷

2

2

=6

2

cm，
∴△DEF的直角邊DF=AC-AD-FC=6

2

-3

2

-

2

=2

2

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，平移的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題需要熟練掌握等腰直角三角形的邊的關(guān)系．