Question

15．已知，如圖，將拋物線y₁=-（x-1）²+1，y₂=-（x-2）²+2，y₃=-（x-3）²+3，…，y_n=-（x-n）²+n（n為正整數(shù)）稱為“系列拋物線”，其分別與x軸交于點O，A，B，C，E，F(xiàn)，…．
（1）①拋物線y₁的頂點坐標(biāo)為（1，1）；
②該“系列拋物線”的頂點在直線y=x上；
③y_n=-（x-n）²+n與x軸的兩交點之間的距離是2$\sqrt{n}$．
（2）是否存在整數(shù)n，使以y_n=-（x-n）²+n的頂點及該拋物線與x軸兩交點為頂點的三角形是等邊三角形？
（3）以y_n=-（x-n）²+n的頂點P為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接等邊△PMN（M，N兩點在該二次函數(shù)的圖象上），請問：△PMN的面積是否會隨著n的變化而變化？若不會，請求出這個等邊三角形的面積；若會，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線y₁的頂點坐標(biāo)；
②利用拋物線y_n=-（x-n）²+n的頂點坐標(biāo)特征，即頂點的橫縱坐標(biāo)相等可判斷該“系列拋物線”的頂點在第一、三象限的角平分線上；
③通過解方程-（x-n）²+n=0得到拋物線與x軸的兩點坐標(biāo)，從而得到拋物線與x軸的兩交點之間的距離；
（2）如圖1，拋物線的頂點為P（n，n），拋物線交x軸于G、K兩點，作PH⊥x軸于H，則GK=2$\sqrt{n}$，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PGK=60°，GH=KH=$\sqrt{n}$，再根據(jù)正切的定義可得n=$\sqrt{n}$tan60°，然后解方程即可；
（3）如圖2，作PH⊥x軸于H，利用拋物線的對稱性可得MN∥x軸，設(shè)M（t，-（t-n）²+t），則HM=n-t，PH=（t-n）²+n-t，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正切的定義得到（t-n）²+n-t=$\sqrt{3}$（n-t），則可求出n-t=$\sqrt{3}$，則MN=2$\sqrt{3}$，PH=3，然后根據(jù)三角形面積公式可計算出S_△PMN=3$\sqrt{3}$，于是可判斷△PMN的面積不會隨著n的變化而變化．

解答 解：（1）①拋物線y₁的頂點坐標(biāo)為（1，1）；
②拋物線y_n=-（x-n）²+n的頂點坐標(biāo)為（n，n），即頂點的橫縱坐標(biāo)相等，
所以該“系列拋物線”的頂點在直線y=x上；
③當(dāng)y=0時，-（x-n）²+n=0，解得x₁=n-$\sqrt{n}$，x₂=n+$\sqrt{n}$，則拋物線與x軸的兩點坐標(biāo)分別為（n-$\sqrt{n}$，0），（n+$\sqrt{n}$，0），
所以y_n=-（x-n）²+n與x軸的兩交點之間的距離為n+$\sqrt{n}$-（n-$\sqrt{n}$）=2$\sqrt{n}$；
故答案為（1，1），直線y=x，2$\sqrt{n}$；
（2）存在．
如圖1，拋物線y_n=-（x-n）²+n的頂點為P（n，n），拋物線交x軸于G、K兩點，作PH⊥x軸于H，則GK=2$\sqrt{n}$，
∵△PGK為等邊三角形，
∴∠PGK=60°，GH=KH=$\sqrt{n}$，
在Rt△PGH中，∵tan∠PGH=$\frac{PH}{GH}$，
∴n=$\sqrt{n}$tan60°，解得n₁=3，n₂=0（舍去），
∴當(dāng)n為3時，使以y_n=-（x-n）²+n的頂點及該拋物線與x軸兩交點為頂點的三角形是等邊三角形；
（3）△PMN的面積不會隨著n的變化而變化．
如圖2，作PH⊥x軸于H，
∵點P為拋物線的頂點，△PMN為等邊三角形，
∴點M和點N為對稱點，
∴MN∥x軸，
設(shè)M（t，-（t-n）²+t），則HM=n-t，PH=n-[-（t-n）²+t]=（t-n）²+n-t，
∵△PMN為等邊三角形，
∴MH=NH，∠PMN=60°，
在Rt△PMH中，∵tan∠PMH=$\frac{PH}{MH}$，
∴（t-n）²+n-t=$\sqrt{3}$（n-t），
∴n-t=$\sqrt{3}$，即MH=$\sqrt{3}$，
∴MN=2MH=2$\sqrt{3}$，PH=3，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$•3•2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
即△PMN的面積不會隨著n的變化而變化，它為定值3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；會求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．