Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P為圓上一點，點C為AB延長線上一點，PA=PC，∠C=30°．

（1）求證：CP是⊙O的切線．
（2）若⊙O的直徑為8，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，如圖所示：

∵PA=PC，∠C=30°，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠APC=120°，

∵OA=OP，

∴∠OPA=∠A=30°，

∴∠OPC=120°﹣30°=90°，

即OP⊥CP，

∴CP是⊙O的切線

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠APB=90°，

∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，

∵OP=OB=4，

∴△OBP是等邊三角形，

∴∠POC=60°，

∵OP⊥CP，

∴∠C=30°，

∴OC=2OP=2OB=8，

∴PC= = =4 ，

∴陰影部分的面積=扇形OBP的面積﹣△OBP的面積= ﹣ × ×4×4 = ﹣4 ．

【解析】（1）連接OP利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求出∠OPC=120°﹣30°=90°得CP是⊙O的切線；（2）利用直徑所對的圓周角是直角及同圓的半徑相等得△OBP是等邊三角形，再由勾股定理得PC得長度，最后用陰影部分的面積=扇形OBP的面積﹣△OBP的面積即可。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的內(nèi)角和外角和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．