Question

在直角坐標(biāo)系中，如圖所示，把∠BAC放在直角坐標(biāo)系中，使射線AC與x軸重合，已知∠BAC=30°，OA=OB=1，過點B作BA₁⊥OB交x軸于A₁，過點A₁做B₁A₁⊥BA₁交直線AB于點B₁，過B₁做B₁ A₂⊥B₁A₁交x軸于點A₂，再過A₂依次作垂直…．
（1）求A、B點坐標(biāo)（直接寫出答案）
（2）求直線AB的解析式
（3）求△A₆B₆A₇的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OA的長即可求出A的坐標(biāo)，根據(jù)OB和∠BOA₁=60°，即可求出B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（3）推出∠BAC=∠ABO=30°，求出∠BOC=60°，∠BA₁O=30°，求出BA₁=，求出A₁B₁=×、B₁A₂=3=××，同理求出A₆B₆=12個相乘，B₆A₇=13個相乘，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
解答：（1）解：A（-1，0），B（，）．

（2）解：設(shè)直線AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-1，0），B（，）代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+．

（3）解：∵OB=OA=1，
∴∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BA₁O=30°，
∴BA₁=，
同理∠BB₁A₁=30°，
∴B₁A₁=3=×，
同理：B₁A₂=3=××，
…
A₆B₆=××…×（12個相乘），
B₆A₇=××…×（13個相乘），
∴△A₆B₆A₇的面積是：A₆B₆×B₆A₇=×（××…×）×（××…×）=，
答：△A₆B₆A₇的面積是．
點評：本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)求出的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，題目比較好，但是有一定的難度．