Question

9．已知拋物線y=-x²+2kx+3k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=$\frac{1}{3}$OC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BQ，連接PQ，過A作直線PQ的垂線，垂足為E，過B作直線PQ的垂線，垂足為F，作線段EF的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HD∥y軸，交拋物線于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，延長BP交HD延長線于點(diǎn)M，連接AP交HD于點(diǎn)N，當(dāng)MD=NH時，求∠QPA的正切值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式得到C（0，3k），結(jié)合已知條件得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式列出關(guān)于k的一元二次方程，通過解方程求得k的值即可；
（2）根據(jù)平行線的判定推知AE∥GH∥BF，則由平行線分線段成比例得到：$\frac{AH}{BH}$=$\frac{EG}{FG}$=1，由點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得H（1，0）．又因?yàn)镈H∥y軸，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，-m²+2m+3）．由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求得直線PA的解析式為y=（3-m）x+3-m，易得NH=6-2m．同理，由直線PB的解析式得到MH=2m+2，結(jié)合MD=NH，求得P（2，3）．如圖2，過P作PK⊥AB于K，構(gòu)建等角∠QPA=∠BPK，所以通過解Rt△PKB得到：tan∠BPK=$\frac{BK}{PK}$=$\frac{1}{3}$，即tan∠QPA=$\frac{1}{3}$．

解答 （1）解：當(dāng)x=0時，y=-0²+2k×0+3k，
解得y=3k，
∴C（0，3k），
∴OC=3k．
∵OA=$\frac{1}{3}$OC，
∴OA=k，
∴A（-k，0）．
∵點(diǎn)A在拋物線上，
∴0=-（-k）²+2k×（-k）+3k，
解得k₁=0（舍去），k₂=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）解：如圖1，∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∴當(dāng)y=0時，0=-x²+2x+3，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=OA+OB=4．
∵AE⊥PQ，BF⊥PQ，
∴∠AEP=∠BFQ=90°，
∴AE∥BF．
∵GH垂直平分EF，
∴EG=FG，∠HGQ=90°，
∴∠HGQ=∠BFQ，
∴GH∥BF，
∴AE∥GH∥BF，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{EG}{FG}$=1，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴OH=OB-BH=1，
∴H（1，0）．
∵DH∥y軸，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．
∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴當(dāng)x=1時，y=-1²+2×1+3=4，
∴D（1，4）；

（3）解：∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²+2x+3上，設(shè)P（m，-m²+2m+3）
由（2）知A（-1，0）B（3，0）設(shè)直線PA的解析式為y=k₁x+b₁
點(diǎn)A（-1，0）、P（m，-m²+2m+3）在直線PA上，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=-1×{k}_{1}+_{1}}\\{-{m}^{2}+2m+3=m×{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=3-m}\\{_{1}=3-m}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=（3-m）x+3-m，
∵N的橫坐標(biāo)為1
∴當(dāng)x=1時，y=（3-m）×1+3-m=6-2m，
∴NH=6-2m．
設(shè)直線PB的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
點(diǎn)B（3，0）、P（m，-m²+2m+3）在直線PB上，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=3×{k}_{2}+_{2}}\\{-{m}^{2}+2m+3=m×{k}_{2}+{k}_{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-m-1}\\{_{2}=3m+3}\end{array}\right.$，
∴直線PB的解析式為y=（-m-1）x+3m+3．
∵M(jìn)的橫坐標(biāo)為1，
∴當(dāng)x=1時，y=（-m-1）×1+3m+3=2m+2，
∴MH=2m+2，
∵D（1，4），
∴DH=4，
∴MD=MH-DH=2m-2．
∵M(jìn)D=NH，
∴2m-2=6-2m，
解得m=2，
∴P（2，3）．
如圖2，過P作PK⊥AB于K，
∴OK=2，PK=3，
∴AK=OA+OK=3，BK=OB-OK=1，
∴AK=PK=3．
∵PK⊥AB，
∴∠PKA=90°，
∴∠PAK=∠APK=45°．
∵BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠BPQ=∠BQP=45°
∴∠APK-∠QPK=∠QPB-∠QPK，即∠QPA=∠BPK，
在Rt△PKB中，tan∠BPK=$\frac{BK}{PK}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠QPA=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，圖形旋轉(zhuǎn)變換，平行線的判定與性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．