Question

8．在△ABC中，∠BAC=90°，作∠DAP=∠ABC=45°，過點B作BD⊥AD，垂足為D，BD交直線AP于P．
判斷線段BD、DP與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 結(jié)論：PC-PD=BD，作AM⊥PC于M，先證明A、P、B、C四點共圓，得到∠BPC=∠BAC=90°，再證明四邊形AMPD是正方形，△ADB≌△AMC得BD=CM，由此即可證明．

解答 結(jié)論：PC-DP=BD，理由如下，
證明：作AM⊥PC于M，
∵∠BAC=90°，∠DAP=∠ABC=45°
∴∠ABC=∠ACB=∠APD=45°，AB=AC，
∴A、P、B、C四點共圓，
∴∠BPC=∠BAC=90°，
∵∠AMP=∠MPD=∠ADP=90°，
∴四邊形ANPD是矩形，
∵∠ADP=90°，∠APD=45°，
∴∠DAP=∠APD=45°，
∴AD=DP，
∴四邊形AMPD是正方形，
∴AD=DP=PM=AM，
在RT△ADB和RT△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AMC，
∴BD=CM，
∴PC-PD=PC-PM=CM=BD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．