Question

15．如圖所示，⊙O是△ABC 的外接圓，AB是直徑，∠ABC=30°，點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，連接AE并延長交⊙○于點(diǎn)D，連接OD，CD，BD．
（1）求證：△AEO≌△DEC；
（2）若AB=12，則四邊形AODC的面積是18$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠CDE=∠EAO=30°，即可解決問題．
（2）根據(jù)S_{平行四邊形AODC}=2•S_△ACO即可解決．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°，∠CAO=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等邊三角形，
∵CE=EO，'
∴AE⊥CO，∠CAE=∠EAO=30°，
∵∠CDE=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠EAO，
在△CED和△OEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠AEO}\\{∠CDE=∠EAO}\\{EC=EO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△DEC．

（2）連接DO．
∵△AEO≌△DEC．∠CDE=∠EAO
∴CD=AO，CD∥AO，
∴四邊形AODC是平行四邊形，
∴S_{平行四邊形AODC}=2•S_△ACO=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=18$\sqrt{3}$．
故答案為18$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外接圓、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，把求平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求三角形的面積，屬于中考�？碱}型．