Question

已知，點P（x，y）在第一象限，且點P（x，y）在直線l：x+y=12的圖象上，點A（10，0）在x軸上，設(shè)△OPA的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的關(guān)系式，并確定x的取值范圍；
（2）畫出S關(guān)于x的函數(shù)圖象；
（3）在直線l上是否存在點M使△OAM是等腰三角形？若存在，求出點M的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）如圖1所示：
過點P作PB⊥x軸，連接OP，AP，
∵由點P（x，y）在直線l：x+y=12的圖象上，
∴y=12-x，
∴S=×OA×PB=×10×（12-x）=60-5x（0＜x＜12）；

（2）∵由（1）可知，S=60-5x，
∴當(dāng)x=0時，S=60，當(dāng)S=0時，x=12，
∴S與x的函數(shù)圖象如圖2所示：

（3）存在．
設(shè)點M（m，12-m），
當(dāng)OM=OA時，m²+（12-m）²=100，解得m₁=6+，m₂=6-，
故此時M（6+，6-）或（6-，6+）；
當(dāng)OA=AM時，100=（m-10）²+（12-m）²，解得m₁=18，m₂=4，
故此時M（18，-6）或（4，8）；
當(dāng)OM=AM時，m²+（12-m）²=（m-10）²+（12-m）²，解得m=5，
故此時M（5，7）．
綜上所述，M點的坐標(biāo)為M（6+，6-），（6-，6+），（18，-6），（4，8），（5，7）．
分析：（1）根據(jù)題意畫出直線x+y=12的圖象，過點P作PB⊥x軸，連接OP，AP，由點P（x，y）在直線l：x+y=12的圖象上可知y=12-x，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出S關(guān)于x的關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中S與t的關(guān)系式畫出函數(shù)圖象；
（3）由于等腰三角形的兩腰不能確定，故應(yīng)分OM=OA，OA=AM，OM=AM三種情況進行解答．
點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，難度適中．