Question

如圖1，將△ABC的三個頂點的橫坐標同時乘以-1得到三個新的頂點A′，B′，C′，則△ABC與△A′B′C′關于y軸對稱（對稱變換）；如圖2，將⊙O（x²+y²=2）向上平移2個單位，在向右平移3個單位得到⊙A （x-3）²+（y-2）²=2（平移變換）；如圖3，把y=x²的圖象上點的橫坐標不變，所有點的縱坐標同時乘以4得到一個新圖象，則新圖象的解析式為

1

4

y=x2，即y=4x²（伸縮變換）．試回答問題：
（1）y=x²-x+1的圖象關于原點對稱圖象的解析式為

 

；
（2）將y=-

1

x

的圖象向左平移3個單位，再向下平移4個單位，得到的圖象的解析式為

 

；
（3）將y=5x+1的圖象所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

5

，得到的圖象的解析式為

 

；
（4）試探究：拋物線y=3x²-6x+1是由拋物線y=x²通過怎樣的變換而得到的？

Answer 1

分析：（1）關于原點對稱，那么所求圖象的開口向下，二次項的系數(shù)與原二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，對稱軸在y軸的左側，那么b＜0，與y軸的交點在y軸的下方，為原來交點的相反數(shù)；
（2）根據(jù)平移規(guī)律，在橫坐標處加3，縱坐標處減4即可；
（3）根據(jù)伸縮規(guī)律，讓橫坐標乘5即可得到相應函數(shù)解析式；
（4）把拋物線y=3x²-6x+1整理為頂點式，并且兩邊都除以二次項系數(shù)，看頂點是如何變化的及y是如何變化的即可．

解答：解：（1）關于原點對稱，那么所求圖象的開口向下，開口大小不變，
∴a=-1，
∵變換后對稱軸在y軸左側，
∴b=-1，
∵變換后與y軸交于負半軸，
∴c=-1，
∴y=-x²-x-1；

（2）y=-

1

x+3

-4；

（3）∵橫坐標縮短為原來的

1

5

，
∴解析式為：y=25x+1；

（4）y=3x²-6x+1=3（x-1）²-2，
∴

y

3

=（x-1）²-

2

3

，
∴y=x²向右平移1個單位，再向下平移

2

3

個單位，得：y=(x-1)2-

2

3

，
那么橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的3倍可得拋物線y=3x²-6x+1．

點評：解決本題的關鍵是理解平移變化中左右平移只改變橫坐標的值，左加右減；上下平移只改變常數(shù)，上加下減；伸縮變化中，坐標是原來坐標的n倍，那么所求的解析式的坐標應為原來坐標的

1

n

倍．