Question

如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，過點(diǎn)D作直線交BA的延長(zhǎng)線于E，交⊙O于點(diǎn)M，點(diǎn)N為

BC

上任意一點(diǎn)，連接DN交AB于F．
（1）已知DM=

2

，cos∠BED=

4

5

，求⊙O的半徑；
（2）求證：DN•DF=DE•MD．

Answer 1

分析：（1）連接CM，由于CD是⊙O的直徑，所以∠CMD=90°，再由AB⊥CD可得出∠E+∠CDM=90°，進(jìn)而可的得出∠C=∠BED，所以cos∠C=cos∠E=

4

5

，設(shè)CM=4x，則CD=5x，由勾股定理可知MD=3x，再根據(jù)DM=

2

可求出x的值，故可求出CD的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2））根據(jù)∠DCM=∠E，∠DCM=∠N可知∠N=∠E，再由∠MDN=∠EDF，可得出△NDM∽△EDF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：連接CM，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CMD=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠E+∠CDM=90°，
又∵∠DCM+∠CDM=90°，
∴∠C=∠BED，
∴cos∠C=cos∠E=

4

5

，
∴設(shè)CM=4x，則CD=5x，
∴MD=

CD2-CM2

=

(5x)2-(4x)2

=3x，
∵DM=

2

，
∴x=

2

3

，
∴CD=

5 2

3

，
∴⊙O的半徑為

5 2

6

；

（2）∵∠DCM=∠E，∠DCM=∠N，
∴∠N=∠E，
又∵∠MDN=∠EDF，
∴△NDM∽△EDF，
∴

DN

DE

=

DM

DF

，
∴DN•DF=DE•MD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識(shí)，難度適中．