Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象交x軸于點A（4，0），與y軸正半軸交于點B，cos∠BAO=

4

5

．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）OC是△AOB的角平分線，反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象經(jīng)過點C，求m的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由A的坐標(biāo)得到OA的長，在直角三角形AOB中，根據(jù)cos∠BAO的值及OA的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出OB的長，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由OC為∠AOB的平分線，且∠AOB為直角，判斷得到三角形OCD為等腰直角三角形，即CD=OD=a，表示出C坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式求出a的值，確定出C坐標(biāo)，將C坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值即可．

解答：解：（1）∵A（4，0），∴OA=4，
∵∠AOB=90°，cos∠BAO=

4

5

，
∴AB=

OA

cos∠BAO

=5，
∴OB=

AB2-OA2

=3，即B（0，3），
將A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，
則一次函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+3；

（2）過C作CD⊥OA，設(shè)OD=a，
∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠COD=

1

2

∠AOB=45°，
∵CD⊥OA，
∴△CDO為等腰直角三角形，
∴CD=OD=a，即C（a，a），
∵C點在直線AB上，
將C坐標(biāo)代入直線AB得：-

3

4

a+3=a，
解得：a=

12

7

，
∴C（

12

7

，

12

7

），
將C坐標(biāo)代入反比例解析式得：m=

144

49

．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．