Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y=

1

2

x+2與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=

m

x

交于點(diǎn)C，CD⊥x軸于點(diǎn)D，且S_△ACD=9，若在雙曲線上有一點(diǎn)E，使得△EOC是為以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)S_△ACD=9和點(diǎn)C在直線y=

1

2

x+2上，求出a和b的值，C點(diǎn)的坐標(biāo)求出，則易求雙曲線的解析式為y=

6

x

，故設(shè)雙曲線上點(diǎn)E坐標(biāo)為（n，

6

n

），根據(jù)△EOC為以點(diǎn)O為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形，由兩腰相等，列出等式求出n的值．

解答：解：設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直線y=

1

2

x+2與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B、，
∴令x=0，y=2，令y=0，x=-4，
∴點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（0，2），
∵點(diǎn)C在直線y=

1

2

x+2上，
∴b=

1

2

a+2…①，
∵S_△ACD=9，
∴

1

2

（a+4）b=9…②，
聯(lián)立①②解得a=2，b=3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），
∵雙曲線y=

m

x

過點(diǎn)C，
∴m=6，
∴雙曲線的解析式y(tǒng)=

6

x

．
設(shè)E坐標(biāo)為（n，

6

n

），
∵△EOC為以點(diǎn)O為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形，
∴OC=OE，
∴

22+32

=

n2+( 6 n )2

，
解得n=±3，
∵點(diǎn)C在第一象限，
∴n=3，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及等腰三角形的知識(shí)，此題難度不大．