Question

已知，紙片⊙Ｏ的半徑為2 ，如圖1. 沿著弦AB 折疊操作。
（1）如圖2 ，當(dāng)折疊后的經(jīng)過圓心Ｏ時(shí)，求的長度；
（2）如圖3，當(dāng)弦AB＝2時(shí)，求折疊后⊙O所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（3）在如圖1中，將紙片⊙O沿著弦CD折疊操作：    
①如圖4，當(dāng)AB∥CE時(shí)，折疊后的和所在圓外切與點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦CD，AB的距離之和為d，試求d的值；  
②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，折疊后的和所在圓外切與點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)試探究四邊形OMPN的形狀，并證明。

Answer 1

解：（1）可以過點(diǎn)O作OE垂直于弦AB，并連接AE，BE，BO，AO， 由圖形的對(duì)稱性可知四邊形AEOB 為菱形，△AEO，△BEO均為等邊三角形，∠AOB=120°， ； （2）.折疊后的圓O′與圓O是等圓，設(shè)折疊后所在圓的圓心O，可過O′作AB的垂線段即為m， m=tan60°×1=； （3）可作AB垂線，交圓與點(diǎn)E，點(diǎn)G，且經(jīng)過點(diǎn)P，EF必定垂直且平分AB，CD。GE=GP，HP=HF； 距離之和為d= （GE+GP+HP+HF）÷2=4÷2=2； （4）可設(shè)點(diǎn)K，點(diǎn)L分別是，所在圓的圓心，連接KL， ∵折疊后⊙K，⊙O，⊙L均是等圓 ∵點(diǎn)K與點(diǎn)O， 點(diǎn)L與點(diǎn)O是分別關(guān)于AB，CD的對(duì)稱點(diǎn)， ∴點(diǎn)M，點(diǎn)N分別是OK，OL的中點(diǎn)； 連心線KL必定經(jīng)過外切點(diǎn)P；點(diǎn)M，N，P分別是△KOL三邊的中點(diǎn)， ∴MP=NO=OL， MP∥OL， ∴四邊形OMPN 為平行四邊形。

圖5 圖4