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3.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC.
(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在A(yíng)B上且點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時(shí),若點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn),則MN與EC的位置關(guān)系是MN⊥EC,MN與EC的數(shù)量關(guān)系是MN=12EC
(2)探究:若把(1)小題中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖2,連接BD和EC,并連接DB、EC的中點(diǎn)M、N,則MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若把(1)小題中的△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖3,連接BD和EC,并連接DB、EC的中點(diǎn)M、N,則MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)根據(jù)中位線(xiàn)定理,結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)即可直接得出結(jié)論;
(2)連接EM并延長(zhǎng)交BC于F,證明△EDM≌△FBM,運(yùn)用線(xiàn)段的等量代換即可求解;
(3)延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F,連接AF、MF,結(jié)合矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì),合理運(yùn)用角的等量代換即可求解.

解答 解:(1)MN⊥EC,MN=12EC;
由等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,
可知,AE=BE=EC,DE⊥AB,
∵點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn),
∴MN∥AB,且MN=12BE,
∴MN⊥EC,MN=12EC;
(2)如圖2

連接EM并延長(zhǎng)交BC于F,
∵∠AED=∠ACB=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠AFM,∠EDM=∠MBF,
又BM=MD,
在△EDM和△FBM中,
{DEM=AFMEDM=MBFBM=MD,
∴△EDM≌△FBM,
∴BF=DE=AE,EM=FM,
∴MN=12FC=12(BC-BF)=12(AC-AF)=12EC,
且MN⊥EC;
(3)如圖3

延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F,連接AF、MF,則AF為矩形ACFE對(duì)角線(xiàn),所以必經(jīng)過(guò)EC的中點(diǎn)N且AN=NF=EN=NC.
在Rt△BDF中,M是BD的中點(diǎn),∠B=45°,
∴FD=FB,
∴FM⊥AB,
∴MN=NA=NF=NC,
即MN=12EC,
∴∠NAM=∠AMN,∠NAC=∠NCA,
∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM,∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC,
∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2(∠NAM+∠NAC)=2∠DAC=90°,
∴∠MNC=90°,
即MN⊥EC且MN=12EC.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查集幾何變換,熟悉全等三角形的證明和矩形的性質(zhì),會(huì)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題,能抓住在圖形變換中的不變關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

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