Question

探索研究：
A：觀察如圖所示中的各圖，尋找對頂角（不含平角）：

（1）如圖a，圖中共有

 

對不同對頂角；
（2）如圖b，圖中共有

 

對不同的對頂角；
（3）如圖c，圖中共有

 

對不同的對頂角．
（4）研究（1）-（3）小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點，則可形成

 

對對頂角
（5）計算2013條直線相交于一點，則可形成

 

對對頂角
B：
（1）3條直線兩兩相交最多有

 

個交點，此時有

 

對不同的對頂角
（2）4條直線兩兩相交最多有

 

個交點，此時有

 

對不同的對頂角
（3）n條直線兩兩相交最多有

 

個交點，此時有

 

對不同的對頂角
（4）計算2013條直線最多有

 

個交點，則可形成

 

對不同的對頂角，那么2013條直線最多形成

 

對不同的對頂角．

Answer 1

考點：對頂角、鄰補(bǔ)角

專題：規(guī)律型

分析：A．（1）（2）（3）分別根據(jù)對頂角的定義計算即可得解；
（4）根據(jù)對頂角的對數(shù)和直線的條數(shù)的規(guī)律寫出即可；
（5）把n=2013代入（4）的公式計算即可得解．
B．（1）、（2）可通過畫圖得出交點個數(shù)，
（3）通過以上兩題找出規(guī)律解答；

解答：A．解：（1）有2對對頂角；
（2）有6對對頂角；
（3）有12對對頂角；
（4）有n條直線時，有n（n-1）對對頂角；
（5）n=2013時，可形成2013×2012=4050156對頂角．
故答案為：2，6，12，n（n-1），4050156．
B解：（1）如圖（1），可得三條直線兩兩相交，最多有3個交點；有6對對頂角．
（2）如圖（2），可得四條直線兩兩相交，最多有6個交點；又12對對頂角．
（3）由（1）得，

3(3-1)

2

=3，
由（2）得，

4(4-1)

2

=6；
∴可得，n條直線兩兩相交，最多有

n(n-1)

2

個交點（n為正整數(shù)，且n≥2）．有n（n-1）對對頂角．

（4）當(dāng)n=2013時，有2025078個交點，有4050156對對頂角．
故答案為3，6；6，12；

n(n-1)

2

，n（n-1）；2025078，4050156，4050156，．

點評：本題考查了對頂角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識圖，按照一定的順序計算對頂角的對數(shù)是解題的關(guān)鍵．本題還考查了圖形的變化，是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．