Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．
（1）求證：BE=DG；
（2）若∠B=60°，當AB與BC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結論；
（3）試探究，若∠B=60°時，當AB與BC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形AECG是正方形（直接寫出結果）．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；

（2）解：當BC=AB時，四邊形ABFG是菱形．
證明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四邊形ABFG是平行四邊形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半），
∵BE=CF，BC=AB，
∴EF=AB．
∴AB=BF．
∴四邊形ABFG是菱形；

（3）解：BC=AB時，四邊形AECG是正方形．
∵AE⊥BC，GC⊥CB，
∴AE∥GC，∠AEC=90°，
∵AG∥CE，
∴四邊形AECG是矩形，
當AE=EC時，矩形AECG是正方形，
∵∠B=60°，
∴EC=AE=AB•sin60°=AB，BE=AB，
∴BC=AB．
分析：（1）根據(jù)平移的性質，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；
（2）要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據(jù)條件找到滿足AB=BF的AB與BC滿足的數(shù)量關系即可．
（3）當四邊形AECG是正方形時，AE=EC，由AE=AB，可得EC=AB，再有BE=AB可得BC=AB．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性質．關鍵是熟練掌握菱形的判定定理，以及平行四邊形的性質．