Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AP、CQ分別平分∠BAC、∠BCA，AP交CQ于I，連PQ，則S_△IAC：S_{四邊形ACPQ}=1：2．

Answer 1

分析 在AC上截取CE=CP，AF=AQ，連接IE、IF，作FN⊥IE于N，QM⊥AI于M，只要證明△CIP≌△CIE，△IAF≌△IAQ，以及S_△IMQ=S_△INF即可解決問題．

解答 解：在AC上截取CE=CP，AF=AQ，連接IE、IF，作FN⊥IE于N，QM⊥AI于M．
在△CIP和△CIE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CI=CI}\\{∠ICP=∠ICE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△CIP≌△CIE，同理△IAF≌△IAQ，
∴S_△CIP=S_△CIE，S_△AIF=S_△AIQ，PI=PE，IQ=IF，∠CIP=∠CIE，∠AIQ=∠F，
∵∠B=90°，IC平分∠ACB，IA平分∠BAC，
∴∠AIC=90°+$\frac{1}{2}$∠B=135°，
∴∠CIP=∠CIE=∠AIQ=∠EIF=45°，
在△IMQ和△INF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠INF=∠IMQ=90°}\\{∠NIF=∠QIM}\\{IF=IQ}\end{array}\right.$，
∴△INF≌△IMQ，
∴FN=QM，
∵S_△IMQ=$\frac{1}{2}$•PI•QM，S_△INF=$\frac{1}{2}$•IE•NF，
∴S_△INF=S_△IMQ，
∴S_△AIC=S_△CIE+S_△EIF+S_△IAF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ACPQ}．
故S_△IAC：S_{四邊形ACPQ}=1：2．
故答案為1：2．

點評 本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵，題目有難度，記住利用角平分線構(gòu)造全等三角形的方法．