Question

（2012•蕭山區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ABC=Rt∠，AB=BC，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BM=BD；又點(diǎn)E、F分別是CD、AM邊上的中點(diǎn)，連接FE、EB．
（1）求證：△AMB≌△CDB；
（2）點(diǎn)M在BC邊上移動(dòng)時(shí)，試問(wèn)∠BEF的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出∠BEF的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若

EF

AC

=

3

5

，且設(shè)∠MAB=α，試求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）求出∠ABM=∠CBD，根據(jù)SAS推出全等即可；
（2）根據(jù)全等求出AM=DC，推出BE=BF，求出∠EBF=90°，即可得出∠BEF=45°；
（3）設(shè)EF=3a，AC=5a，由勾股定理求出AB=BC=

5 2

2

a，BF=BE=

3 2

2

a，求出AM=2BF=3

2

a，解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠CBD=90°，
∵在△AMB和△CDB中

AB=BC ∠ABM=∠CBD BM=BD

，
∴△AMB≌△CDB（SAS）；

（2）解：∠BEF的度數(shù)不發(fā)生變化，
理由是：連接BF，
∵△AMB≌△CDB，
∴∠DCB=∠MAB，AM=DC，
∵E、F分別為DC、AM中點(diǎn)，∠ABM=∠CBD=90°，
∴BE=DE=CE

1

2

CD，BF=MF=AF=

1

2

AM，
∴BE=BF，∠BAF=∠FBA，∠EBD=∠D，
∵∠D+∠DCB=90°，
∴∠FBA+∠EBD=90，
∴∠FBE=180°-90°=90°，
∵BE=BF，
∴∠BEF=45°；

（3）解：設(shè)EF=3a，AC=5a，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴由勾股定理得：AB=BC=

5 2

2

a，
同理：BF=BE=

3 2

2

a，
∴AM=2BF=3

2

a，
∴cosα=cos∠MAB=

AB

AM

=

5 2 2 a

3 2 a

=

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△AMB≌△CDB和求出△EBF是等腰直角三角形．