Question

已知k是滿足1910＜k＜2010的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解．問(wèn)：這樣的整數(shù)k有多少個(gè)？

Answer 1

解：解方程組可得解：．
設(shè)當(dāng)（其中m和n是整數(shù)）（1）時(shí)方程組有整數(shù)解．
消去上面方程中的k，得到5m+4n=7．（2）
∵m==1+n-且m和n是整數(shù)，
∴只要滿足-=l（l是整數(shù)）即可，即n=-5l-2，代入（2）式得m=3+4l，
∴從（2）解得（其中l(wèi)是整數(shù)）．（3）
將（3）代入（1）中一個(gè)方程得：35+4k=123-164l，解得k=22+41l．
∵k是滿足1910＜k＜2010的整數(shù)，
∴1910＜22+41l＜2010，
解不等式得，．
因此共有2個(gè)k值使原方程有整數(shù)解．
答：這樣的整數(shù)k有2個(gè)．
分析：先解方程組可得到xy的代數(shù)式，根據(jù)方程有整數(shù)解，可得到關(guān)于k的兩個(gè)方程，解方程組可得到一個(gè)二元一次方程，解這個(gè)二元一次方程可得解，代入關(guān)于k的方程中，再根據(jù)k的取值范圍即得到k為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二元一次方程組的解法，涉及到解二元一次方程及解不等式組，難度比較大．