如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的斜邊AB在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸上,OA、OB的長是關(guān)于x的方程x2-25x+144=0的兩個(gè)根(OA>OB).
(1)求直線AC的解析式;
(2)點(diǎn)P為AC邊上的點(diǎn),且∠ABP=∠CBP,求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式;
(3)若Q為y軸上的點(diǎn),問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在K,使以B、C、Q、K為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出K點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):反比例函數(shù)綜合題
專題:綜合題
分析:(1)由OA與OB的長是關(guān)于x的方程x2-25x+144=0的兩個(gè)根,求出方程的解得到OA與OB的長,進(jìn)而求出OA•OB的值,由△ABC為直角三角形,且OC⊥AB,利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等,得到△AOC與△BOC相似,由相似得比例,得到OC2=OA•OB,求出OC的長,確定出C坐標(biāo),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值,即可確定出直線AC解析式;
(2)過P作PM垂直于x軸,利用角平分線定理得到PC=PM,且BC=BM,求出BM的長,由AB-MB求出AM的長,在直角三角形AMP中,設(shè)MP=x,則AP=AC-CP=AC-PM=20-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出PM的長,由OA-AM求出OM的長,得出P的坐標(biāo),代入y=
m
x
中求出m的值,即可確定出反比例解析式;
(3)存在,如圖所示,BQ=BC=15,OB=OK=9,OQ=OC=12,此時(shí)四邊形BCKQ為菱形,求出此時(shí)K的坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)∵OA、OB的長是關(guān)于x的方程x2-25x+144=0的兩個(gè)根(OA>OB),
∴OA=16,OB=9,
∴A(-16,0),
∵∠ACB=∠AOC=∠BOC=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠BCO=∠OAC,
∴△AOC∽△COB,
OC
OB
=
OA
OC
,即OC2=OA•OB=144,
∴OC=12,即C(0,-12),
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,
將A與C坐標(biāo)代入得:
-16k+b=0
b=-12

解得:k=-
3
4
,b=-12,
則直線AC解析式為y=-
3
4
x-12;
(2)在Rt△OBC中,OB=9,OC=12,
根據(jù)勾股定理得:BC=
92+122
=15,
同理得到AC=20,AB=OA+OB=25,
過P作PM⊥BA,垂足為M,
∵BP為∠AC平分線,且PC⊥BC,
∴BM=BC=15,PM=PC,AM=AB-BM=10,OM=AO-AM=16-10=6,
在Rt△APM中,設(shè)MP=x,則AP=AC-PC=AC-PM=20-x,
根據(jù)勾股定理得:AP2=AM2+PM2,即(20-x)2=102+x2,
解得:x=
15
2
,即MP=
15
2
,
∴P(-6,-
15
2
),
設(shè)過P點(diǎn)的反比例解析式為y=
m
x
,
將P坐標(biāo)代入得:m=45,
則反比例解析式為y=
45
x
;
(3)存在,如圖所示,在x軸負(fù)半軸上,以O(shè)為圓心,OB長為半徑截取OK=OB=9,在y軸正半軸上,以O(shè)為圓心,OC長為半徑截取OQ=OC=12,連接BQ,KQ,KC,
∵OQ=OC,OB=OK,
∴四邊形BQKC為平行四邊形,
∵BQ=BC,
∴四邊形BQKC為菱形,
則此時(shí)K坐標(biāo)為(-9,0).
同理,(9,-15),(9,15),(9,-
75
8
)也滿足條件.
綜上所述,K的坐標(biāo)為(-9,0)或(9,-15)或(9,15)或(9,-
75
8
點(diǎn)評(píng):此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:相似三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),一元二次方程的解法,勾股定理,平行四邊形及菱形的判定,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
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B、
C、
D、

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A、
1
5
B、
2
5
C、
3
5
D、
4
5

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若(a-2)2+|b-1|=0,則(b-a)2013的值是( 。
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x+1
3
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1
3
-2

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如圖,一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí),鐵環(huán)與鐵鉤相切,這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖,已知鐵環(huán)的半徑為25cm,鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)也地面接觸點(diǎn)為A,且sin∠MOA=
3
5

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(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與A點(diǎn)的水平距離AC=55cm,求鐵環(huán)鉤MF的長度.

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為了促進(jìn)中學(xué)生正確書寫漢字,用好漢字,某中學(xué)在七年級(jí)開展了一次“漢字英雄”主題比賽,賽程共分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)階段,預(yù)賽由各班舉行,全員參加,按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分,統(tǒng)計(jì)成績后繪制成如圖1所示的預(yù)賽成績條形統(tǒng)計(jì)圖(未畫完整),預(yù)賽前十名選手參加復(fù)賽,成績見“前10名選手成績統(tǒng)計(jì)表”(采用百分制計(jì)分,得分都為60分以上的整數(shù)).

前10名選手成績統(tǒng)計(jì)表
序號(hào)
預(yù)賽成績(分)1009295989410093969596
復(fù)賽成績(分)90808590808885908689
總成績(分)9484.889m85.692.888.2n89.691.8
(1)如果預(yù)賽成績?cè)?0.5-90.5分的人數(shù)是全年級(jí)人數(shù)的50%,求七年級(jí)的總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全預(yù)賽成績條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在圖2中,補(bǔ)全預(yù)賽成績扇形統(tǒng)計(jì)圖,期中“90.5-100.5分的人數(shù)”的圓心角度數(shù)用尺規(guī)作圖畫出(保留作圖痕跡),其它兩組直接在途中寫出圓心角的度數(shù);
(3)預(yù)賽前十名選手參加復(fù)賽,成績見“前10名選手成績統(tǒng)計(jì)表”,若按預(yù)賽成績占40%,復(fù)賽成績占60%的比例計(jì)算總成績,并從中選出3人參加決賽,你認(rèn)為選哪幾號(hào)選手去參加決賽?并說明理由.

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