Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AD交BC于D，過(guò)C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求證：△ANC為等腰三角形；
（2）試判斷BN與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ANH=∠ACH，進(jìn)而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法得出△AND≌△ACD（ASA），進(jìn)而得出DN=DC，∠AND=∠ACD，即可得出∠B=∠NDB，進(jìn)而得出答案．

解答 （1）證明：∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC為等腰三角形；

（2）解：BN=CD，
原因如下：如圖：連接ND
∵△AND和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAD=∠CAD}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHC}\end{array}\right.$
∴△AND≌△ACD（ASA），
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴NB=ND，
∴BN=CD．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定和角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．