Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度y（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0，當車流密度不超過25輛/千米時，車流速度為70千米/小時，研究表明：當25≤x≤200時，車流速度y是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當0≤x≤200時，求函數(shù)y與x的函數(shù)關系式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）w=x•y可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）當0≤x≤25時，車流速度為y=70，
當25＜x≤200時，設y與x的函數(shù)關系式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
則圖象經(jīng)過點（25，70），（200，0），
所以，，
解得，
此時y=-x+80，
所以，函數(shù)y與x的函數(shù)關系式為y=；

（2）w=x•y=x（-x+80）=-x²+80x=-（x-200x+10000）²+4000=-（x-100）²+4000，
即w=-（x-100）²+4000，
所以，當車流密度x=100時，車流量w有最大值，為4000輛/小時．
分析：（1）分0≤x≤25時，根據(jù)題意車流速度為定值70千米/小時，25＜x≤200時，設y與x的函數(shù)關系式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），根據(jù)圖象經(jīng)過點（25，70），（200，0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）把y換成關于x的關系式，整理并寫成頂點式解析式，再根據(jù)拋物線的最值問題解答即可．
點評：本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，（1）要注意根據(jù)自變量的取值范圍分段求解．