Question

如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1點D為AC上一動點，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長線交BC的延長線于F，設(shè)CD=n，
（1）當(dāng)n=1時，則AF=

2

；
（2）當(dāng)0＜n＜1時，如圖2，在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=60°，再根據(jù)平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可；
（2）根據(jù)三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，從而得到∠ADE=∠HBE，然后根據(jù)邊角邊證明△ADE與△HBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=HE，對應(yīng)角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定即可證明．

解答：（1）解：∵△BDE是等邊三角形，
∴∠EDB=60°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴FAC=180°-60°-60°=60°，
∴∠F=180°-90°-60°=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=180°-90°，
∴AF=2AC=2×1=2；

（2）證明：∵△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60°=∠CBD+90°，
∴∠ADE=30°+∠CBD，
∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，
∴∠HBE=30°+∠CBD，
∴∠ADE=∠HBE，
在△ADE與△HBE中，

BH=AD ∠ADE=∠HBE BE=BD

，
∴△ADE≌△HBE（SAS），
∴AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60°，
∴△AEH為等邊三角形．

點評：本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，（2）中求出
∠ADE=∠HBE是解題的關(guān)鍵．