Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，（a≠0）直線，且經(jīng)過A（-1，0）、（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)D是拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使∠DCB=90°的點D的坐標(biāo)；
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線圖象上的三點坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式，進而可用配方法或公式法求得頂點D的坐標(biāo)；
（2）若∠DCB=90°，根據(jù)△BCO為等腰直角三角形，可推出△CDF為等腰直角三角形，根據(jù)線段長度求D點坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在符合條件的P點；首先連接AC，先判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點也符合點P點要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由拋物線與y軸交于點C（0，-3），可知c=-3，
即拋物線的解析式為y=ax²+bx-3，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得a=1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）設(shè)經(jīng)過C點且與直線BC垂直的直線為直線l，作DF⊥y軸，垂足為F；

∵OB=OC=3，
∴CF=DF=1，OF=OC+CF=4，
∴D（1，-4）．

（3）連接AC，則容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合條件的點為P（0，0）．
過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為P₁（0，

1

3

）．
過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為P₂（9，0）．
∴符合條件的點有三個：O（0，0），P₁（0，

1

3

），P₂（9，0）．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，（3）題中能夠發(fā)現(xiàn)點O是符合要求的P點，是解決此題的突破口．