Question

10．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-1，t），B（3，t），與y軸交于點C（0，-1）．一次函數(shù)y=x+n的圖象經(jīng)過拋物線的頂點D．
（1）求拋物線的表達式；
（2）求一次函數(shù)y=x+n的表達式；
（3）將直線l：y=mx+n繞其與y軸的交點E旋轉(zhuǎn)，使當-1≤x≤1時，直線l總位于拋物線的下方，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A和B對稱，可求得對稱軸，則b的值即可求得，然后根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點（0，-1），代入即可求得c的值，則拋物線解析式即可求得；
（2）首先求得拋物線的頂點，代入一次函數(shù)解析式即可求得n的值，求得一次函數(shù)的解析式；
（3）首先求得拋物線上當x=-1和x=1時對應點的坐標，然后求得直線y=mx+n經(jīng)過這兩個點時對應的m的值，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）二次函數(shù)的對稱軸是x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
則-$\frac{2}$=1，
解得：b=-2，
∵拋物線與y軸交于點C（0，-1）．
∴c=-1，
則二次函數(shù)的解析式是y=x²-2x-1；
（2）二次函數(shù)y=x²-2x-1的頂點坐標是（1，-2），
代入y=x+n得-2=1+n，
解得：n=-3，
則一次函數(shù)y=x+n的表達式是y=x-3；
（3）如圖所示：

在y=x²-2x-1中，當x=-1時，y=2；
當x=1時，y=-2．
當直線y=mx-3經(jīng)過點（-1，2）時，-m-3=2，解得：m=-5；
當直線y=mx-3經(jīng)過點（1，-2）時，m-3=-2，解得：m=1．
則當-5＜m＜1時，當-1≤x≤1時，直線l總位于拋物線的下方．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象確定m的范圍是關(guān)鍵．