Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（5，1）和點(diǎn)B（0，3）是第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)．
（1）請在x軸上作出一點(diǎn)P，使PA+PB的最小值，并求出這個最小值；
（2）求直線PB的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若（2）中的一次函數(shù)圖象為直線m，求直線m沿y軸如何平移可使平移后的直線過點(diǎn)A．

Answer 1

分析 （1）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)P，則A′B的長即為PA+PB的最小值，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出A′B的長即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式即可；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線平移后的解析式，再求直線與x軸的交點(diǎn)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)，
∵A（5，1），
∴A′（5，-1）．
∵B（0，3），
∴A′B=$\sqrt{{5}^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\sqrt{25+16}$=$\sqrt{41}$，
∴PA+PB的最小值是$\sqrt{41}$；

（2）設(shè)直線PB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A′（5，-1），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}5k+b=-1\\ b=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{5}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴直線PB的解析式為：y=-$\frac{4}{5}$x+3；

（3）設(shè)平移后的解析式為y=-$\frac{4}{5}$x+m，
∵A（5，1）
∴-$\frac{4}{5}$×5+m=1，解得m=5，
∴平移后的解析式為y=-$\frac{4}{5}$x+5，
∴直線與y軸的交點(diǎn)為：（0，5）．
∵5-3=2，
∴直線m沿y軸向上平移2個單位過點(diǎn)A．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對稱-最短路線問題等知識，在解答（1）時要作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解．