Question

已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，

（1）證明ABDF是平行四邊形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠ADDF=∠BAD，所以AB∥FD，因為BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．

（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

試題解析：解：（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC．

∵在△ADB與△CDB中，AB=BC，AD=DC，DB=DB，

∴△ADB≌△CDB（SSS）．∴∠BCD=∠BAD．

∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF．∴AB∥FD．

∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD．

∴四邊形ABDF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，

∴?ABDF是菱形．∴AB=BD=5．

設(shè)BE=x，則DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，

∵AD=6，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得：x=，即BE=．

∴=，

∴AC=2AE=．

考點(diǎn)：1．平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)；2．線段垂直平分線的性質(zhì)；3．勾股定理．