Question

設(shè)自然數(shù)n使2n+1和3n+1是完全平方數(shù)．
（1）求證：40|n．
（2）5n+3能否為質(zhì)數(shù)？

Answer 1

分析：（1）由2n+1是完全平方數(shù)，可得2n+1被8除余1，先證明8|n，再證明5|n，即可證明40|n；
（2）由2n+1及3n+1都是完全平方數(shù)，可設(shè)2n+1=k²及3n+1=m²（k，m∈N）則5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k²-m²=（2k+m）（2k-m），然后得出矛盾即可證明．

解答：證明：（1）∵2n+1是完全平方數(shù)，
∴2n+1被8除余1，
∴n為偶數(shù)，
∴3n+1為奇數(shù)，
又∵3n+1是完全平方數(shù)，
∴3n+1被8除余1，
∴8|3n，
∵（8，3）=1，
∴8|n．由x²=0，1，4（mod5），及（3n+1）+（2n+1）=5n+2，
得2n+1被5除均余1，于是5|（3n+1）-（2n+1），
即5|n，
∵（8，5）=1，
∴40|n；

（2）由2n+1及3n+1都是完全平方數(shù)，可設(shè)2n+1=k²及3n+1=m²（k，m∈N），
則5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k²-m²=（2k+m）（2k-m），
顯然2k+m＞1，若2k-m=1，即2k=m+1，
從而5n+3=2k+m=2m+1，
于是（m-1）²=m²-（2m+1）+2=（3n+1）-（5n+3）+2=-2n＜0，
這與（m-1）²≥0矛盾，故2k-m＞1，
所以5n+3是合數(shù)，
即5n+3不能為質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)及數(shù)的整除性問(wèn)題，難度較大，關(guān)鍵是正確根據(jù)題意進(jìn)行邏輯推理．