Question

（2013•北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx-2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求直線l的解析式；
（3）若該拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出對(duì)稱(chēng)軸解析式，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2，-2），然后設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，然后判斷出拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，代入直線l求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入拋物線求出m的值即可得到拋物線解析式．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴A（0，-2），
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

-2m

2m

=1，
∴B（1，0）；

（2）易得A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（2，-2），
則直線l經(jīng)過(guò)A′、B，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=-2 k+b=0

，
解得

k=-2 b=2

，
所以，直線l的解析式為y=-2x+2；

（3）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴拋物線在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，在-1＜x＜0這一段位于直線l的下方，
∴拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2×（-1）+2=4，
所以，拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，4），
當(dāng)x=-1時(shí)，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴拋物線的解析式為y=2x²-4x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，第（3）小題較難，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)（-1，4）是解題的關(guān)鍵．