Question

13．如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊作正方形BCDE，設(shè)正方形的中心為O，連結(jié)AO，如果AB=3，AO=2$\sqrt{2}$，那么AC的長為7．

Answer 1

分析 如圖在CA上截取CM=AB，連接OM，只要證明△ABO≌△MCO得△OAM是等腰直角三角形，求出AM即可解決問題．

解答 解：如圖在CA上截取CM=AB，連接OM，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠ABO+∠AKB=90°，∠OCM+∠OKC=90°，∠AKB=∠OKC，
∴∠ABO=∠OCM，
在△ABO和△MCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CM}\\{∠ABO=∠MCO}\\{BO=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△MCO，
∴AO=MO，∠AOB=∠COM，
∴∠AOM=∠BOC=90°，
∵AO=OM=2$\sqrt{2}$，AB=CM=3，
∴AM=$\sqrt{A{O}^{2}+{MO}^{2}}$=4，
∴AC=AM+CM=4+3=7
故答案為：7．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．