Question

14．如圖（1），在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，點E是AB邊上-動點（點E不與點A、B重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接ED．
（1）設AE=x，則EF=$\frac{5}{4}$（8-x）；
（2）若DE⊥EF，求EF的長；
（3）如圖（2），過點E作EG⊥EF．交AC于點H，交直線CD于點G，連接AG、FG，隨著點E在線段AB上的運動，當AE為何值時，△EFG與△AHE相似？

Answer 1

分析 （1）首先由在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，可求得AC的長，然后由EF∥AC，證得△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（2）由DE⊥EF，易證得△ADE∽△BAC，再利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得EF的長；
（3）首先過點G作GH⊥AB于點H，可求得GH的長，由EG⊥EF，易證得△HGE∽△BAC，則可求得EH的長，然后分別從△EFG∽△HAE與△EFG∽△HEA，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，
∴BC=AD=6，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∵AE=x，
∴BE=AB-AE=8-x，
∴$\frac{EF}{10}=\frac{8-x}{8}$，
解得：EF=$\frac{5}{4}$（8-x）；
故答案為：$\frac{5}{4}$（8-x）；

（2）∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEF=∠ADE，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠BAC，
∵∠DAE=∠ABC=90°，
∴△ADE∽△BAC，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{x}{6}=\frac{6}{8}$，
解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴EF=$\frac{5}{4}$（8-x）=$\frac{35}{8}$；

（3）過點G作GM⊥AB于點M，
則四邊形ADGM是矩形，
∴GM=AD=6，
∵EF⊥EG，
∴∠GEM+∠BEF=90°，
∵∠GEM+∠EGH=90°，
∴∠EGM=∠BEF，
∵∠EMG=∠B=90°，
∴△EGM∽△FBE，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴△MGE∽△BAC，
∴$\frac{EG}{AC}=\frac{GM}{AB}$，
∴$\frac{EG}{10}=\frac{6}{8}$，
解得：EG=$\frac{15}{2}$，
∵EF⊥EG，EF∥AC，
∴EG⊥AC，
∴△AEH∽△ACB，
∴$\frac{AH}{EH}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
若△EFG∽△HEA，
則$\frac{EF}{EG}=\frac{EH}{AH}$，
∴$\frac{EF}{\frac{15}{2}}=\frac{3}{4}$，
解得：EF=$\frac{45}{8}$；
∴AE=x=$\frac{7}{2}$；
若△EFG∽△HAE，
則$\frac{EF}{EG}=\frac{AH}{EH}$=$\frac{4}{3}$，
解得：EF=10，
此時x=0，不符合題意，舍去．
∴當AE=$\frac{7}{2}$時，△EFG與△AHE相似．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及直角三角形的性質．注意準確作出輔助線、充分利用相似三角形的對應邊成比例是解此題的關鍵．