Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）．以D為頂點(diǎn)作∠ADE＝∠B，射線DE交AC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥AD交射線DE于點(diǎn)F．

（1）求證：ABCE＝BDCD；

（2）當(dāng)DF平分∠ADC時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝；（3）BD的長(zhǎng)為11或或．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到＝，證明△BDA∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；

（3）分點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)F在線段DE上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，

∴△BAD∽△CDE，

∴＝，即ABCE＝BDCD；

（2）解：∵DF平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE，

∵∠CDE＝∠BAD，

∴∠ADE＝∠BAD，

∴，

∴＝，

∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，

∴△BDA∽△BAC，

∴＝，即＝

解得，BD＝，

∴＝，

解得，AE＝；

（3）解：作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC＝BC＝8，

由勾股定理得，AH＝＝＝6，

∴tanB＝＝，

∴tan∠ADF＝＝，

設(shè)AF＝3x，則AD＝4x，

由勾股定理得，DF＝＝5x，

∵△BAD∽△CDE，

∴＝，

當(dāng)點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，FA＝FE時(shí)，DE＝5x﹣3x＝2x，

∴＝，

解得，CD＝5，

∴BD＝BC﹣CD＝11，

當(dāng)EA＝EF時(shí)，DE＝EF＝2.5x，

∴＝，

解得，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝；

當(dāng)AE＝AF＝3x時(shí)，DE＝x，

∴＝，

解得，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝；

當(dāng)點(diǎn)F在線段DE上時(shí)，∠AFE為鈍角，

∴只有FA＝FE＝3x，則DE＝8x，

∴＝，

解得，CD＝20＞16，不合題意，

∴△AEF是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為11或或．