Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M、N.當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN=MN.

（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2),線(xiàn)段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想.并加以證明.

（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時(shí),線(xiàn)段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）MN=BM+DN，證明略；（2）MN=DN-BM，證明略.

【解析】

（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線(xiàn)即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類(lèi)似，見(jiàn)詳解．

解：（1）BM+DN=MN成立．
證明：證明如下：如圖2，在MB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，截取BE=DN，連接AE，

在△ABE和△ADN中，

，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）結(jié)論：DN-BM=MN．
在線(xiàn)段DN上截取DQ=BM，

在△ADQ與△ABM中，

，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，

，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．