Question

如圖1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過點O作DE∥BC，交AB于點D，交AC與點D，交AC于點E．
（1）試找出圖中的等腰三角形，并說明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的長；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周長；
（4）若將原題中平行線DE的方向改變，如圖2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么結論呢？

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質,平行線的性質

專題：

分析：（1）運用兩三角形兩底角相等得出等腰三角形；
（2）由等腰三角形兩腰相等求解；
（3）由△ADE的周長=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；
（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等得出△ODE的周長等于BC的長度．

解答：解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形，
同理△EOC是等腰三角形，
（2）∵BD=4、CE=3，
∴由（1）得出DO=4，EO=3，
∴DE=DO+OE=4+3=7，
（3）△ADE的周長=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，
∴△ADE的周長=AB+AC，
∵AB=12、AC=9，
∴△ADE的周長=AB+AC=12+9=21，
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形，
∴BD=DO，CE=OE，
∵BC=16，
∴△ODE的周長為16．
即△ODE的周長等于BC的長度．

點評：本題主要考查了等腰三角形的判定與性質及平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的兩角相等或兩邊相等．